Единичная окружность

Главная страница ❯ Заметки ❯ Математика ❯ Тригонометрия ❯ Единичная окружность

На прошлом занятии мы познакомились с единицей измерения углов, которая называется радианом.
На этом уроке мы познакомимся с важнейшим для тригонометрии понятием - единичной окружностью, которую иногда также называют тригонометрической окружностью.

Введём на плоскости знакомую Вам прямоугольную декартову систему координат и построим окружность радиуса с центром в начале координат (Рис. 1).

Отметим в точке с координатой точку (Рис. 2).

Заведём ещё одну точку , которая пусть пока совпадает с точкой . Тогда стороны угла совпадают и . Для дальнейшего движения точки у нас есть две возможности: против часовой стрелки (подняться вверх) и по часовой стрелке (спуститься вниз).

Повернём точку на некоторый положительный угол (т.е. против часовой стрелки), как показано на Рис. 3.

Из точки опустим перпендикуляры на ось в точку и на ось в точку (Рис. 4).

Рассмотрим прямоугольный треугольник : . Вспоминая, что , получим, что
Аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник : . Поскольку , получаем:
Таким образом, для произвольной точки единичной окружности получена следующая связь между её декартовыми координатами и углом , которому соответствует эта точка:

Договоримся в дальнейшем любую точку единичной окружности ассоциировать с углом, которому она соответствует. Отправим точку в путешествие по единичной окружности в положительном направлении и будем попутно отмечать интересные для нас точки, в которых побывала точка .

Сделаем первую остановку через - для этого нам нужно пройти треть первой четверти (Рис. 5).

-ㅤШтурман, каковы наши координаты?
-ㅤВоспользуемся формулой :
-ㅤА чему равны и ?

-ㅤПосмотрите на Рис. 6. Радиус окружности, являющийся по совместительству гипотенузой прямоугольного треугольника равен . Как известно, катет, лежащий против угла в равен половине гипотенузы, и потому: . По теореме Пифагора найдём оставшийся катет: . Следовательно, . Имеем:

Далее сделаем поворот до точки (Рис. 7).

В получившемся прямоугольном треугольнике второй острый угол, очевидно, также равен и, следовательно, треугольник равнобедренный, значит т.е. Пусть . Тогда по теореме Пифагора: или . Отсюда: и получаем: . Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем:
Последняя наша остановка - (Рис. 8).

По существу этот треугольник был нами уже рассмотрен ранее - здесь лишь координаты и поменялись ролями, поэтому:
Точка имеет координаты , и потому:
На Рис. 9 показаны точки, соответствующие распространённым углам вместе с их координатами , где, как всегда, :

Полезно помнить также знаки тригонометрических функций на четвертях, но здесь и запоминать-то толком ничего не нужно, если помнишь, что :

На этом мы завершим наше первое знакомство с тригонометрическим кругом. Понимаю, информации много и всё сразу усвоить непросто. Чтобы во всём здесь детально разобраться беглого чтения перед сном будет недостаточно - нужно перечитать материал с карандашом и бумагой.
Чтобы отработать навыки, полученные на занятии, ниже Вас ждут упражнения. Ответы к упражнениям появятся позже, а пока Вы можете, например, отправить мне своё решение на проверку.